Блок 2. Уровень C (высокий, олимпиадный стиль). Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 36. Второй член прогрессии равен 6. Найдите первый член и знаменатель.

Обозначим первый член через \(b_1\). По условию \(b_1q=6\), а сумма равна \(b_1/(1-q)=36\), где \(|q|<1\).

Из второго равенства \(b_1=36(1-q)\). Подставляем в первое: \(36q(1-q)=6\), то есть \(q(1-q)=1/6\). Отсюда \(q^2-q+1/6=0\), поэтому \(q=(1\pm\sqrt{1/3})/2=(3\pm\sqrt3)/6\).

Тогда \(b_1=6/q\). При \(q=(3+\sqrt3)/6\) получаем \(b_1=9-3\sqrt3\); при \(q=(3-\sqrt3)/6\) получаем \(b_1=9+3\sqrt3\). Оба знаменателя удовлетворяют условию \(|q|<1\), поэтому подходят.

Ответ: \((b_1,q)=(9-3\sqrt3,(3+\sqrt3)/6)\) или \((9+3\sqrt3,(3-\sqrt3)/6)\).