250. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34 см. Найдите площадь треугольника, если отноше- ние его основания к высоте, проведённой к основанию, равно 16 : 15.

Пусть $$a$$ - основание равнобедренного треугольника, $$h$$ - высота, проведенная к основанию, и $$b$$ - боковая сторона.

Дано, что $$\frac{a}{h} = \frac{16}{15}$$, и $$b=34$$ см. Выразим $$a$$ через $$h$$: $$a = \frac{16}{15}h$$.

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой. Обозначим половину основания как $$\frac{a}{2}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора:

$$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = b^2$$

Подставим $$a = \frac{16}{15}h$$ и $$b = 34$$:

$$\left(\frac{16}{30}h\right)^2 + h^2 = 34^2$$ $$\left(\frac{8}{15}h\right)^2 + h^2 = 1156$$ $$\frac{64}{225}h^2 + h^2 = 1156$$ $$\frac{289}{225}h^2 = 1156$$ $$ h^2 = \frac{1156 \cdot 225}{289} = 4 \cdot 225 = 900$$ $$ h = \sqrt{900} = 30$$

Теперь найдем основание:

$$ a = \frac{16}{15}h = \frac{16}{15} \cdot 30 = 16 \cdot 2 = 32$$

Площадь треугольника равна:

$$ S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 30 = 16 \cdot 30 = 480 \text{ см}^2 $$

Ответ: 480 см²