251. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипо- тенуза которого равна 34 см, а один из катетов больше другого на 14 см.

Пусть x - меньший катет, тогда x + 14 - больший катет. Гипотенуза равна 34 см. По теореме Пифагора:

$$ x^2 + (x + 14)^2 = 34^2$$ $$ x^2 + x^2 + 28x + 196 = 1156$$ $$ 2x^2 + 28x - 960 = 0$$ $$ x^2 + 14x - 480 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116 = 46^2$$ $$ x_1 = \frac{-14 + 46}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ $$ x_2 = \frac{-14 - 46}{2} = \frac{-60}{2} = -30$$

Катет не может быть отрицательным, поэтому x = 16 см.

Тогда другой катет равен 16 + 14 = 30 см.

Площадь треугольника:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240 \text{ см}^2 $$

Ответ: 240 см²