763 Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого ра- вен 10 см, а толщина стенки: а) 2 мм; б) 1,5 мм? (Плотность меди 8,9 г/см³.)

Ответ: a) не будет плавать; б) не будет плавать

• Дано:

Диаметр шара \(D = 10\) см

Плотность меди \(\rho_{меди} = 8.9\) г/см³

Плотность воды \(\rho_{воды} = 1\) г/см³

• Найти:

Будет ли плавать шар?

Решение:

а) Толщина стенки \(t = 2\) мм = 0.2 см

• Внешний радиус шара:

\(R = \frac{D}{2} = \frac{10}{2} = 5\) см

• Внутренний радиус шара:

\(r = R - t = 5 - 0.2 = 4.8\) см

• Объем меди:

\(V_{меди} = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)\)

\(V_{меди} = \frac{4}{3} \cdot 3.1415 \cdot (5^3 - 4.8^3)\)

\(V_{меди} = \frac{4}{3} \cdot 3.1415 \cdot (125 - 110.592) = \frac{4}{3} \cdot 3.1415 \cdot 14.408 \approx 60.35 \) см³

• Масса меди:

\(m_{меди} = \rho_{меди} V_{меди}\)

\(m_{меди} = 8.9 \cdot 60.35 = 537.115 \) г

• Объем шара:

\(V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3\)

\(V_{шара} = \frac{4}{3} \cdot 3.1415 \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \cdot 3.1415 \cdot 125 \approx 523.6 \) см³

• Средняя плотность шара:

\(\rho_{ср} = \frac{m_{меди}}{V_{шара}} = \frac{537.115}{523.6} \approx 1.026\) г/см³

Так как \(\rho_{ср} > \rho_{воды}\), то шар не будет плавать.

б) Толщина стенки \(t = 1.5\) мм = 0.15 см

• Внутренний радиус шара:

\(r = R - t = 5 - 0.15 = 4.85\) см

• Объем меди:

\(V_{меди} = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)\)

\(V_{меди} = \frac{4}{3} \cdot 3.1415 \cdot (5^3 - 4.85^3)\)

\(V_{меди} = \frac{4}{3} \cdot 3.1415 \cdot (125 - 114.347625) = \frac{4}{3} \cdot 3.1415 \cdot 10.652375 \approx 44.64 \) см³

• Масса меди:

\(m_{меди} = \rho_{меди} V_{меди}\)

\(m_{меди} = 8.9 \cdot 44.64 = 397.3 \) г

• Средняя плотность шара:

\(\rho_{ср} = \frac{m_{меди}}{V_{шара}} = \frac{397.3}{523.6} \approx 0.759\) г/см³

Ответ: a) не будет плавать; б) не будет плавать.