C—2.1. В выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠A + ∠B = ∠B + ∠C = 180°. Через точку O пересечения диагоналей четырёхугольника проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках M и K соответственно; ∠BOM = 90°. Докажите, что BK = BM.

Из равенства ∠A + ∠B = 180° следует, что AD ∥ BC: это односторонние углы при секущей AB. Аналогично из ∠B + ∠C = 180° следует AB ∥ CD. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим координаты с началом в O и осью Ox вдоль OB. Обозначим B = (b, 0), D = (−b, 0), A = (u, v), C = (−u, −v). Так как ∠BOM = 90°, прямая OM перпендикулярна OB и имеет уравнение x = 0.

Точка M лежит на BC. Параметрическое представление BC даёт M = B + t(C − B). Из условия x_M = 0 получаем t = b/(b + u), а потому BM = t · BC.

Точка K лежит на AD, а её координаты находятся пересечением AD с прямой x = 0. Подстановка в уравнение AD даёт K = (0, bv/(b + u)). Отсюда BK² = b² + (bv/(b + u))².

В то же время BC = (−b − u, −v), поэтому BM² = [b/(b + u)]²((b + u)² + v²) = b² + (bv/(b + u))². Значит, BK² = BM², а длины отрезков положительны.

Следовательно, BK = BM.