C—3.1. Точки M и K являются соответственно серединами сторон AB и BC треугольника ABC. Через вершину C вне треугольника проведена прямая, параллельная AB и пересекающая луч MK в точке E. Докажите, что KE = 1/2 AC.

Так как M и K — середины сторон AB и BC, отрезок MK является средней линией треугольника ABC. Поэтому MK ∥ AC и MK = AC/2.

Прямая через C параллельна AB, а луч MK параллелен AC. Следовательно, четырёхугольник ABEC — параллелограмм: AB ∥ CE, а BE ∥ AC. Его противоположные стороны равны, значит, BE = AC.

Поскольку K — середина BC, а через K проведена прямая, параллельная AC, удобнее применить координаты: положим A = (0, 0), B = (2, 0), C = (x, y). Тогда M = (1, 0), K = ((x+2)/2, y/2). Луч MK имеет направление (x, y), а прямая через C, параллельная AB, горизонтальна. Их пересечение E имеет координаты (x+1, y).

Тогда E − K = ((x/2), y/2) = (C − A)/2. Следовательно, KE = AC/2.

Что и требовалось доказать.