C—3.2. На сторонах BC и AD выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки M и K так, что пары отрезков AM и BK, KC и MD имеют общие середины. Докажите, что ∠BAD = ∠BCD.

Обозначим через P общую середину отрезков AM и BK. Тогда в четырёхугольнике ABMK диагонали AM и BK пересекаются и делятся пополам. Значит, ABMK — параллелограмм, поэтому AB ∥ MK и AB = MK.

Обозначим через Q общую середину KC и MD. Тогда диагонали KC и MD четырёхугольника KCMD делятся пополам, следовательно, KCMD — параллелограмм. Поэтому KC ∥ MD и KC = MD.

Из параллелограммности следует, что вектор AB равен вектор MK, а вектор KC равен вектор MD. С учётом того, что M лежит на BC, а K — на AD, эти равенства дают AB ∥ CD. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому ∠BAD = ∠BCD.

Что и требовалось доказать.