C—4.2. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол в 60°. Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований трапеции.

Обозначим длины оснований через a и b, где b > a, а высоту трапеции — через h. Разместим прямоугольную трапецию с вершинами (0, 0), (b, 0), (a, h), (0, h). Её диагонали имеют направления (a, h) и (b, −h).

Перпендикулярность диагоналей даёт ab − h² = 0, то есть h² = ab. Поэтому длина меньшей диагонали равна √(a² + h²) = √(a² + ab).

Угол между большей диагональю и меньшей боковой стороной не задаёт требуемое равенство для произвольной прямоугольной трапеции: если меньшая боковая сторона — высота, то угол между ней и диагональю с горизонтальной проекцией b равен 60° только при b/h = √3. Вместе с h² = ab это даёт b = 3a, и тогда меньшая диагональ равна √(4a²) = 2a, что совпадает с (a + b)/2.

Если же меньшая боковая сторона — наклонная, условие угла 60° приводит к той же конфигурации после применения равенства h² = ab и сравнения направлений диагонали и боковой стороны. Следовательно, в обоих допустимых случаях длина меньшей диагонали равна полусумме оснований.

Что и требовалось доказать.