C—4.1. Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведён перпендикуляр CE к прямой AD, содержащей основание. Докажите, что AE = 1/2(AD + BC).

Пусть AD — большее основание, а C — вершина тупого угла; E — основание перпендикуляра из C на прямую AD. Обозначим через F проекцию вершины B на AD.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны и расположены симметрично относительно перпендикуляра к основаниям. Поэтому отрезки AF и ED равны. При этом FD = BC, поскольку BC и AD параллельны, а проекции боковых сторон на AD вместе с верхним основанием дают отрезок FD.

Тогда AD = AF + FD + ED = 2AF + BC. Следовательно, AF = (AD − BC)/2. Поскольку E находится за концом A на прямой основания при рассматриваемом тупом угле, AE = AD − AF = (AD + BC)/2.

Следовательно, AE = (AD + BC)/2.