C1: Из точки А к плоскости α проведены два отрезка АС и АВ. Точка D принадлежит АВ, точка Е принадлежит AC. DE параллельна α и равна 5 см. Найти длину отрезка BC, если \(\frac{AD}{BD} = \frac{1}{3}\).

Решение:

По условию DE || α. Отрезки AC и AB пересекают плоскость α. Точки D и E лежат на сторонах AB и AC соответственно.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как DE || AC (поскольку AC лежит в плоскости α, и DE параллельна этой плоскости), и DE = 5 см, а \(\frac{AD}{BD} = \frac{1}{3}\).

Из \(\frac{AD}{BD} = \frac{1}{3}\) следует, что \( BD = 3 AD \).

Тогда AB = AD + BD = AD + 3AD = 4AD.

Отношение отрезков на стороне AB равно \(\frac{AD}{AB} = \frac{AD}{4AD} = \frac{1}{4}\).

По теореме Фалеса (или по свойству подобных треугольников), если DE || BC, то \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\).

Подставляем известные значения:

\(\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{5 \text{ см}}{BC} = \frac{1}{4}\)

\( BC = 5 \text{ см} \cdot 4 \)

\( BC = 20 \text{ см} \)

Ответ: 20 см.