C3: Из точки А построены три взаимоперпендикулярных отрезка АВ, АС и AD. Найдите длину отрезка CD, если АС = а, ВС = в, BD = с.

Решение:

По условию \( AB \perp AC \), \( AB \perp AD \) и \( AC \perp AD \). Это означает, что векторы \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \) и \( \vec{AD} \) попарно ортогональны.

Рассмотрим треугольники:

1. Треугольник ABC: \( \angle BAC = 90^{\circ} \). По теореме Пифагора: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \). По условию \( BC = b \) и \( AC = a \). Значит, \( b^2 = AB^2 + a^2 \). Отсюда \( AB^2 = b^2 - a^2 \).
2. Треугольник ABD: \( \angle BAD = 90^{\circ} \). По теореме Пифагора: \( BD^2 = AB^2 + AD^2 \). По условию \( BD = c \). Значит, \( c^2 = AB^2 + AD^2 \).
3. Треугольник ACD: \( \angle CAD = 90^{\circ} \). По теореме Пифагора: \( CD^2 = AC^2 + AD^2 \).

Нам нужно найти \( CD \). Для этого нужно знать \( AC \) и \( AD \). \( AC = a \) известно.

Выразим \( AD^2 \) из уравнения для треугольника ABD:

\( AD^2 = BD^2 - AB^2 \)

Подставим \( AB^2 = b^2 - a^2 \):

\( AD^2 = c^2 - (b^2 - a^2) = c^2 - b^2 + a^2 \)

Теперь подставим \( AC^2 = a^2 \) и \( AD^2 = c^2 - b^2 + a^2 \) в уравнение для \( CD^2 \):

\( CD^2 = a^2 + (c^2 - b^2 + a^2) \)

\( CD^2 = 2a^2 + c^2 - b^2 \)

\( CD = \sqrt{2a^2 + c^2 - b^2} \)

Ответ: \(\sqrt{2a^2 + c^2 - b^2}\).