Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если BD = 110°20′.

Давай разберем эту задачу вместе! Нам нужно найти углы ∠BAD и ∠ADB, зная дугу BD.

1. Найдём ∠BAD

Угол ∠BAD образован касательной AB и хордой BD. По теореме, угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними:

\[ ∠BAD = \frac{1}{2} \cdot дуга BD = \frac{1}{2} \cdot 110^\circ 20' \]

Преобразуем 110°20′ в десятичный вид:

\[ 20' = \frac{20}{60} ^\circ = \frac{1}{3} ^\circ ≈ 0.333 ^\circ \] \[ 110^\circ 20' = 110.333 ^\circ \]

Теперь найдём угол ∠BAD:

\[ ∠BAD = \frac{1}{2} \cdot 110.333 ^\circ ≈ 55.1665 ^\circ \]

Переведем 0,1665 градуса в минуты:

\[ 0.1665 ^\circ \cdot 60 ≈ 10' \] \[ ∠BAD ≈ 55^\circ 10' \]

2. Найдём ∠ADB

Так как AD проходит через центр O, то OD - радиус окружности. Также OB - радиус, и OB ⊥ AB (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). Следовательно, треугольник OBD - равнобедренный (OB = OD).

∠BOD - центральный угол, опирающийся на дугу BD. Значит, он равен градусной мере дуги BD:

\[ ∠BOD = дуга BD = 110^\circ 20' \]

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, ∠OBD = ∠ODB:

Сумма углов в треугольнике OBD равна 180°:

\[ ∠OBD + ∠ODB + ∠BOD = 180^\circ \]

Так как ∠OBD = ∠ODB:

\[ 2 \cdot ∠ODB = 180^\circ - ∠BOD \] \[ ∠ODB = \frac{180^\circ - ∠BOD}{2} \] \[ ∠ODB = \frac{180^\circ - 110^\circ 20'}{2} = \frac{69^\circ 40'}{2} = 34^\circ 50' \]

Итак, ∠ADB = 34°50′.

Ответ: ∠BAD ≈ 55°10′, ∠ADB = 34°50′

Замечательно! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!