Через точку М, находящуюся на расстоянии 15 см от центра окружности радиусом 17 см, проведена хорда, которая делится точкой М на отрезки, длины которых относятся как 1 : 4. Найдите длину этой хорды.

Пусть данная окружность с центром в точке О. Точка М находится на расстоянии 15 см от центра окружности, радиус равен 17 см. Через точку М проведена хорда CD, которая делится точкой М на отрезки, длины которых относятся как 1 : 4, то есть СМ : MD = 1 : 4.

Нужно найти длину хорды CD.

Проведём радиус ОC, ОD. Опустим перпендикуляр OK на хорду CD. ОК делит хорду CD пополам.

Пусть СМ = х, тогда MD = 4х. CD = CM + MD = x + 4x = 5x

Так как ОК делит хорду CD пополам, то CK = KD = 2,5x

Тогда МК = СК - СМ = 2,5х - х = 1,5х

Рассмотрим треугольник OMK - прямоугольный, где ОМ = 15 см.

По теореме Пифагора:

ОК² = ОМ² + МК²

ОК² = 15² + (1,5х)² = 225 + 2,25х²

Рассмотрим треугольник OCK - прямоугольный, где ОС = 17 см.

По теореме Пифагора:

ОК² + СК² = ОС²

ОК² + (2,5х)² = 17²

ОК² + 6,25х² = 289

Выразим ОК² = 289 - 6,25х²

Приравняем правые части:

225 + 2,25х² = 289 - 6,25х²

8,5х² = 64

х² = $$\frac{64}{8,5}$$ = $$\frac{128}{17}$$

х = $$\sqrt{\frac{128}{17}}$$

CD = 5 * $$\sqrt{\frac{128}{17}}$$ = 5 * $$\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$$ = $$\frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$$ = $$\frac{40\sqrt{34}}{17}$$

CD = $$\frac{40\sqrt{34}}{17}$$ см.

Ответ: $$\frac{40\sqrt{34}}{17}$$ см.