Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на от резки длиной 4 см и 25 см. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB и CD - основания, AD - высота, BC - боковая сторона. Окружность вписана в трапецию. Точка касания К делит боковую сторону ВС на отрезки ВК = 4 см, КС = 25 см. Нужно найти высоту трапеции AD.

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны:

AB + CD = BC + AD

BC = BK + KC = 4 + 25 = 29 см.

Пусть r - радиус вписанной окружности. Тогда AD = 2r.

Проведем высоту ВК1 к стороне DC. Рассмотрим треугольник ВK1С - прямоугольный.

ВK1 = AD

K1C = DC - DK1 = DC - AB

BC² = BK1² + K1C² = AD² + (DC - AB)²

Так как AB + DC = BC + AD, то DC = BC + AD - AB

K1C = BC + AD - AB - AB = BC + AD - 2AB

Выразим AB: AB = BC + AD - DC

Тогда K1C = DC - BC - AD + DC = 2DC - BC - AD

Трапеция прямоугольная, то AD = 2r

Проведем радиус окружности в точку касания боковой стороны. Пусть М и N - точки касания окружности со сторонами ВС и CD соответственно. ОМ = ON = r, ОМ ⊥ BC, ON ⊥ CD.

Рассмотрим треугольник MOC. Он прямоугольный. Опустим высоту ОЕ на сторону МС. ОЕ = r.

Так как МО - биссектриса угла ВМС, то $$\frac{MC}{OE}$$ = $$\frac{KC}{ON}$$

Пусть OE = r, тогда $$\frac{BK}{r}$$ = $$\frac{r}{KC}$$

r² = BK * KC = 4 * 25 = 100

r = 10 см.

Тогда AD = 2r = 2 * 10 = 20 см.

Ответ: 20 см.