Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
525. Через точку С окружности с центром О провели касательную к этой окружности, АВ диаметр окружности. Из точки А на касательную опущен перпендикуляр AD. Докажите, что луч АС - биссектриса уг ла BAD.
Ответ:
Краткое пояснение: Используем свойства касательных, углов между касательной и хордой, а также вписанных углов.
Пусть точка C лежит на окружности с центром O, и через нее проведена касательная. AB - диаметр окружности.
Проведем радиус OC. Так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания, то угол OСK равен 90° (где K - точка на касательной).
Угол между касательной и хордой AC равен половине дуги AC.
Угол ABC - вписанный угол, опирающийся на дугу AC, следовательно, угол ABC равен половине дуги AC.
Следовательно, угол между касательной и хордой AC равен углу ABC.
AD перпендикулярна касательной, то угол DAC = 90°
Угол BAC = 90° - углу ABC
Следовательно, луч AC - биссектриса угла BAD.
Ответ: доказано
Похожие
- 516. Прямая CD касается окружности с центром О в точке А, отрезок АВ - хорда окружности, ∠AOB = 80° (см. рис. 295). Найдите ДВАС.
- 517. Дана окружность, диаметр которой равен 6 см. Прямая а удалена от её центра на: 1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см. В каком случае прямая а явля ется касательной к окружности?
- 518. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°. Докажите, что: 1) прямая ВС является касательной к окружности с центром А, про ходящей через точку С; 2) прямая АВ не является касательной к окружности с центром С, проходящей через точку А.
- 519. Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.
- 520. В окружности с центром О через середину радиуса провели хорду АВ, перпендикулярную ему. Докажите, что ∠AOB = 120°.
- 521. Найдите угол между радиусами ОА и ОВ окружности, если расстоя ние от центра О окружности до хорды АВ в 2 раза меньше: 1) длины хорды АВ; 2) радиуса окружности.
- 522. В окружности провели диаметр АВ и хорды АС и CD так, что АС = 12 см, ∠BAC=30°, AB ⊥ CD. Найдите длину хорды CD.
- 523. Через точку М к окружности с центром О провели касательные МА и МВ, А и В точки касания, ДОАВ = 20°. Найдите ДАМВ.
- 524. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, провели две ка сательные, пересекающиеся в точке С. Найдите ДАСВ.
- 526. Прямая АС касается окружности с центром О в точке А (рис. 296). Докажите, что угол ВАС в 2 раза меньше угла АОВ.
