3. Через центр О окружности, вписанной в правильный треугольник, к плоскости треугольника проведён перпендикуляр OD длиной 6 см. Точка Д удалена от сторон треугольника на расстояние 14 см. Найдите сторону треугольника.

1. Пусть дан правильный треугольник ABC, O - центр вписанной окружности, OD - перпендикуляр к плоскости ABC.

2. Расстояние от точки D до сторон треугольника равно 14 см. Это означает, что перпендикуляры, опущенные из точки D на стороны треугольника, равны 14 см.

3. Пусть DK - перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону AC. Тогда OK - проекция DK на плоскость ABC. По теореме о трех перпендикулярах, OK перпендикулярна AC.

4. Так как O - центр вписанной окружности, то OK - радиус вписанной окружности, r.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник DOK. По теореме Пифагора:

$$DK^2 = OD^2 + OK^2$$

$$14^2 = 6^2 + r^2$$

$$196 = 36 + r^2$$

$$r^2 = 160$$

$$r = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$$

6. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности связан со стороной треугольника a следующим образом:

$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

7. Выразим сторону треугольника a через радиус r:

$$a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 4\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{30}}{3} = 8\sqrt{30}$$

Ответ: $$8\sqrt{30}$$