5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD известно, что АВ : ВС=1: 3. На ребре ВС отметили точку К так, что прямая АК перпендикулярна прямой В₁D. Найдите отношение ВK: BC.

Пусть AB = x, тогда BC = 3x.

Пусть BK = y, тогда KC = 3x - y.

Рассмотрим прямоугольник BCC₁B₁. B₁D - диагональ.

$$B₁D^2 = B₁B^2 + BD^2 = x^2 + (3x)^2 = x^2 + 9x^2 = 10x^2$$

Треугольник ABK - прямоугольный, AK перпендикулярна B₁D, поэтому угол между AK и B₁D равен 90°.

Рассмотрим треугольник AB₁D.

$$AB₁^2 = AB^2 + BB₁^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$$

Треугольник AB₁D - прямоугольный. AK - высота.

$$AK = \frac{AB \cdot AD}{BD} = \frac{x \cdot 3x}{\sqrt{x^2 + (3x)^2}} = \frac{3x^2}{\sqrt{10x^2}} = \frac{3x^2}{x\sqrt{10}} = \frac{3x}{\sqrt{10}}$$

$$AK^2 = AB^2 + BK^2$$

$$(\frac{3x}{\sqrt{10}})^2 = x^2 + y^2$$

$$\frac{9x^2}{10} = x^2 + y^2$$

$$y^2 = \frac{9x^2}{10} - x^2 = \frac{9x^2 - 10x^2}{10} = -\frac{x^2}{10}$$

Выражение для y^2 получается отрицательным, что невозможно. Вероятно, в условии задачи есть ошибка.

Ответ: Нет решения из-за ошибки в условии