4. Из точки F, не принадлежащей плоскости угла CDE, проведены перпендикуляры FA и FB к его сторонам. Известно, что FA=FB=10 см, ∠CDE=120°, а расстояние от точки F до плоскости угла равно 8 см. Найдите расстояние от точки F до вершины угла.

1. Пусть дана плоскость α, угол CDE, FA и FB - перпендикуляры к сторонам CD и DE, FA = FB = 10 см, угол CDE = 120°.

2. Расстояние от точки F до плоскости CDE равно 8 см. Это означает, что перпендикуляр, опущенный из точки F на плоскость CDE, равен 8 см.

3. Пусть FQ - перпендикуляр к плоскости α, Q лежит в плоскости α. Тогда FQ = 8 см.

4. Рассмотрим треугольники FAQ и FBQ. FAQ и FBQ - прямоугольные, так как FQ перпендикулярна плоскости CDE.

5. FA = FB = 10 см, FQ - общая сторона, FQ = 8 см.

6. Значит, треугольники FAQ и FBQ равны по двум катетам. Следовательно, AQ = BQ.

7. Так как AQ = BQ, то точка Q лежит на биссектрисе угла CDE. Угол CDE = 120°, значит, угол QDE = 60°.

8. Рассмотрим треугольник FDQ. Он прямоугольный, так как FQ перпендикулярна плоскости CDE.

$$FD^2 = FQ^2 + QD^2$$

9. Рассмотрим треугольник FAQ. Он прямоугольный, так как FQ перпендикулярна плоскости CDE.

$$QA^2 = FA^2 - FQ^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$$

$$QA = 6$$

10. Рассмотрим треугольник AQD. AD - биссектриса, AQ = 6.

11. В треугольнике QDE угол QDE = 60°, QE = QA = 6. Следовательно, треугольник QDE - равносторонний.

12. QD = QE = 6.

13. Тогда FD = √(FQ^2 + QD^2) = √(8^2 + 6^2) = √(64 + 36) = √100 = 10

Ответ: 10