3. Сторона равностороннего треугольника АВС равна 6 см. Через центр О треугольника к его плоскости проведён перпендикуляр ОМ длиной 3 см. Найдите угол между перпендикуляром, проведённым из точки М к стороне АВ, и проекцией этого перпендикуляра на плоскость АВС.

1. Пусть дан равносторонний треугольник ABC со стороной 6 см. O - центр треугольника, OM - перпендикуляр к плоскости ABC, OM = 3 см.

2. Проведем перпендикуляр MK к стороне AB. OK - проекция MK на плоскость ABC.

3. Нужно найти угол между MK и OK, то есть угол MKO.

4. В равностороннем треугольнике центр O совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

5. OK - радиус вписанной окружности.

$$OK = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$$

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник MOK. Угол MOK = 90°.

$$\tan{\angle MKO} = \frac{MO}{OK} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

7. ∠MKO = arctan(√3) = 60°

Ответ: 60°