152 Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая BF, перпенди- кулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до пря- мых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм, АВ = 4 дм.

1) Расстояние от точки F до прямой AB равно BF = 8 дм, так как BF перпендикулярна плоскости квадрата.

2) Расстояние от точки F до прямой BC:

Рассмотрим треугольник BFC. Он прямоугольный, т.к. BF перпендикулярна плоскости квадрата, значит BF ⊥ BC.

По теореме Пифагора:

$$FC = \sqrt{BF^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ дм}$$

3) Расстояние от точки F до прямой CD:

Проведем FK ⊥ CD. Т.к. BF ⊥ (ABCD), то BF ⊥ CD. Тогда CD ⊥ (BFK), значит DK ⊥ FK.

Тогда FK = BC = 4 дм.

В прямоугольном треугольнике FDK по теореме Пифагора:

$$FD = \sqrt{FK^2 + DK^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ дм}$$

4) Расстояние от точки F до прямой AD:

Аналогично предыдущему пункту FD = $$4\sqrt{5}$$ дм.

5) Расстояние от точки F до диагонали AC:

Обозначим середину AC за O. Тогда BO = AO = OC = AC/2.

В прямоугольном треугольнике ABC $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ дм}$$. Тогда $$AO = 2\sqrt{2}$$ дм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BFO. По теореме Пифагора $$FO = \sqrt{BF^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 8} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$.

Ответ: Расстояние от точки F до AB равно 8 дм, до BC, CD, AD - $$4\sqrt{5}$$ дм, до AC - $$6\sqrt{2}$$ дм.