9. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 20, DK = 15, ВС = 12. Найдите AD.

По теореме о секущихся хордах:

$$BK \cdot AK = CK \cdot DK$$

Пусть AD = x, тогда AK = AB + BK = AD + DK = x + 15

Так как AB и CD пересекаются в точке K, то BK*AK = CK*DK. Выразим CK:

$$CK = BC + BK = 12 + 20 = 32$$

Подставим в формулу:

$$20 \cdot (x + 15) = 32 \cdot 15$$ $$20x + 300 = 480$$ $$20x = 180$$ $$x = 9$$

Ответ: 9