C3 Из точки А построены три взаимоперпендикулярных отрезка АВ, АС и AD. Найдите длину отрезка CD если АС-а, ВС = B, BD = с

Так как отрезки АВ, АС и AD взаимно перпендикулярны, то треугольники ABC, ABD и ACD - прямоугольные.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 + AC^2 = BC^2 \Rightarrow AB^2 = BC^2 - AC^2 \Rightarrow AB = \sqrt{b^2 - a^2}$$ $$AB^2 + AD^2 = BD^2 \Rightarrow AD^2 = BD^2 - AB^2 \Rightarrow AD = \sqrt{c^2 - AB^2} = \sqrt{c^2 - b^2 + a^2}$$

Рассмотрим треугольник ACD, он прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$CD^2 = AC^2 + AD^2$$ $$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + (c^2 - b^2 + a^2)} = \sqrt{2a^2 + c^2 - b^2}$$

Ответ: $$CD = \sqrt{2a^2 + c^2 - b^2}$$