C2 Из точки О пересечения диагоналей квадрата ABCD кего, плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ так, что ∠ OBM = 45º. Найдите косинус угла ABM

Т.к. ОМ перпендикулярен плоскости квадрата, то ОМ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Следовательно, ОМ ⊥ OB, и треугольник MOB прямоугольный.

Т.к. угол OBM = 45°, то треугольник MOB равнобедренный (угол OMB = 90° - 45° = 45°), и ОМ = OB.

Рассмотрим треугольник ABM.

Косинус угла ABM равен отношению прилежащего катета АВ к гипотенузе ВМ:

$$ cos(∠ABM) = \frac{AB}{BM} $$

По теореме Пифагора в треугольнике MOB:

$$ BM^2 = OB^2 + OM^2 = OB^2 + OB^2 = 2OB^2 $$

$$ BM = OB \sqrt{2} $$

По теореме Пифагора в треугольнике АОВ:

$$ AB^2 = OA^2 + OB^2 = OB^2 + OB^2 = 2OB^2 $$

$$ AB = OB \sqrt{2} $$

Следовательно,

$$ cos(∠ABM) = \frac{AB}{BM} = \frac{OB\sqrt{2}}{OB\sqrt{2}} = 1 $$

Ответ: 1