C2 Из точки О пересечения диагоналей квадрата ABCD ке го плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ так, что 20ВМ = 45º, Найдите косинус угла АВМ

C2

Так как OM перпендикулярна плоскости ABCD, то OM перпендикулярна OB, следовательно, треугольник OMB - прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике OMB угол OBM = 45°, значит, угол OMB = 45° и треугольник OMB - равнобедренный, то есть OM = OB.

Рассмотрим треугольник ABM. Косинус угла ABM равен отношению прилежащего катета OB к гипотенузе AB:

$$cos(\angle ABM) = \frac{OB}{MB}$$

По теореме Пифагора:

$$MB = \sqrt{OM^2 + OB^2} = \sqrt{OB^2 + OB^2} = \sqrt{2OB^2} = OB\sqrt{2}$$

Следовательно,

$$cos(\angle ABM) = \frac{OB}{OB\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$