C4 В кубе со стороной а найдите расстояние между прямыми BD₁ и CC1-

Прямые BD₁ и СС₁ - скрещивающиеся.

Расстояние между скрещивающимися прямыми - это длина их общего перпендикуляра.

Т.к. диагональ BD₁ перпендикулярна плоскости ACC₁ и CC₁ лежит в этой плоскости, то диагональ BD₁ перпендикулярна прямой CC₁.

Расстояние между прямыми BD₁ и СС₁ равно половине диагонали BD₁.

Рассмотрим прямоугольник BCC₁B₁.

По теореме Пифагора:

$$\BC^2 + CC_1^2 = BC_1^2$$ $$\a^2 + a^2 = BC_1^2$$ $$\BC_1 = a\sqrt{2}$$

Рассмотрим треугольник BDD₁.

По теореме Пифагора:

$$\BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$$ $$\BD_1^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2$$ $$\BD_1^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$$ $$\BD_1 = a\sqrt{3}$$

Расстояние между прямыми равно:

$$\frac{1}{2}BD_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

Ответ: $$\frac{a\sqrt{3}}{2}$$