Дан параллелограмм ABCD. Диагональ BD делит угол B на углы 1 и 2. ∠1:∠2=1:3. ∠A=60°, Pₐᵦ꜀ᴅ=48. Найти BC.

Так как в параллелограмме соседние углы дополнительны, ∠B = 180° − 60° = 120°. Углы 1 и 2 относятся как 1:3, поэтому на четыре равные доли приходится 120°; ∠1 = 30°, ∠2 = 90°.

Периметр равен 48, значит AB + BC = 24. В треугольнике ABD угол между AB и BD равен 30°, а ∠A = 60°, следовательно, ∠ADB = 90°. Это треугольник 30°–60°–90°; сторона AB, лежащая напротив 90°, вдвое больше BD. Кроме того, из параллельности AD и BC следует, что угол между BD и BC равен углу между BD и AD, то есть 90°. Поэтому треугольник BCD прямоугольный при B.

Пусть BD = x. Тогда AB = 2x. Из периметра: 2x + BC = 24. Но для определения BC используем прямоугольный треугольник BCD и равенство CD = AB = 2x: по теореме Пифагора BC² + BD² = CD², то есть BC² + x² = 4x², откуда BC = √3x.

Тогда (2 + √3)x = 24, и BC = 24√3/(2 + √3) = 24(2√3 − 3).

Ответ: BC = 24(2√3 − 3).