6. Дан правильный восьмиугольник А₁А₂...А₈, точка O является его центром. Докажите утверждения: 1. Диагональ А₁А₅ является диаметром описанной около данного восьмиугольника окружности. 2. ΔΑ₁ΟΑ₂ = ΔΑ₂ΟΑ₃. 3. ΔΑ₁ΟΑ₈ и ΔΑ₂ОА₄ равновелики (имеют равные площади).

1. Диагональ А₁А₅ является диаметром описанной окружности. В правильном восьмиугольнике, диагональ, соединяющая противоположные вершины (А₁ и А₅), проходит через центр окружности (O), так как она делит восьмиугольник на две равные части. Следовательно, эта диагональ является диаметром. 2. ΔΑ₁ΟΑ₂ = ΔΑ₂ΟΑ₃. В правильном восьмиугольнике все стороны равны, и все центральные углы (например, Α₁ΟΑ₂ и Α₂ΟΑ₃) равны. Таким образом, треугольники ΔΑ₁ΟΑ₂ и ΔΑ₂ΟΑ₃ являются равными, так как у них две стороны (радиусы) и угол между ними равны. 3. ΔΑ₁ΟΑ₈ и ΔΑ₂ОА₄ равновелики (имеют равные площади). В правильном восьмиугольнике все центральные углы, опирающиеся на одну сторону, равны. Площадь треугольника можно выразить как \(\frac{1}{2}ab\sin(C)\), где a и b - стороны, а C - угол между ними. В данном случае, у треугольников ΔΑ₁ΟΑ₈ и ΔΑ₂ОА₄ углы при вершине O равны (каждый равен 45° * 3 = 135°), а стороны OA₁ = OA₈ = OA₂ = OA₄ = R (радиус окружности). Таким образом, их площади равны.