2. В окружности с центром O проведены диаметры AB и CD. Найдите длины дуг, на которые делят окружность точки B и D, если известно, что AB = 8, ∠AOD = 30°.

Длина дуги пропорциональна углу, который она стягивает. Длина окружности (C = \pi d = 8\pi). Угол AOD = 30°. Длина всей окружности соответствует углу 360°. Значит, длина дуги AD равна ( \frac{30}{360} \cdot 8\pi = \frac{1}{12} \cdot 8\pi = \frac{2}{3}\pi ). Длина дуги BD равна длине дуги AC, так как углы AOD и BOC вертикальные, и угол BOC тоже равен 30 градусам. Поскольку AB и CD - диаметры, угол AOD = углу BOC = 30°. Значит, длина дуги BD равна длине дуги AD, то есть \(\frac{2}{3}\pi\). Длина дуги, на которую делят окружность точки B и D, может быть найдена через углы. Длина всей окружности (8\pi). Угол AOD = 30°. Угол AOB = 180° (диаметр). Угол BOD = 180° - 30° = 150°. Длина дуги BD = \(\frac{150}{360} \cdot 8\pi = \frac{5}{12} \cdot 8\pi = \frac{10}{3}\pi\). Ответ: Длина дуги AD (и AC) равна \(\frac{2}{3}\pi\). Длина дуги BD равна \(\frac{10}{3}\pi\).