6. Дан равнобедренный треугольник с основанием, равным 12 см, и боковой стороной, равной 10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Пусть $$a$$ - длина боковой стороны, $$b$$ - длина основания, $$r$$ - радиус вписанной окружности. Тогда $$a = 10$$ см, $$b = 12$$ см. Найдем полупериметр треугольника: $$p = \frac{a + a + b}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ см. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-a)(p-b)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48$$ см$$^2$$. Радиус вписанной окружности равен: $$r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$$ см. Ответ: Радиус вписанной окружности равен 3 см.