10. Две окружности касаются внешним образом в точке А. К ним проведена общая внешняя касательная ВС, где С и В — точки касания. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 6 см, АС = 8 см.

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ - центры окружностей, $$r_1$$ и $$r_2$$ - их радиусы соответственно, $$AB$$ и $$AC$$ - касательные. $$O_1C \perp BC$$ и $$O_2B \perp BC$$. Заметим, что $$ABC$$ - прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине $$A$$. Это потому, что касательные, проведенные из точки $$A$$ к окружностям, перпендикулярны (общеизвестный факт). Следовательно, $$AB = 6$$ см и $$AC = 8$$ см являются катетами треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь треугольника ABC равна 24 см$$^2$$.