9. Найдите область определения выражений $$\sqrt{\frac{(x+1)(x-3)}{x(x+1)}}$$ и $$\sqrt{\frac{x-3}{x}}$$. Запишите пересечение полученных множеств.

Рассмотрим первое выражение $$\sqrt{\frac{(x+1)(x-3)}{x(x+1)}}$$. Прежде всего, определим, когда подкоренное выражение определено: $$x
eq 0$$ и $$x
eq -1$$. Далее, должно выполняться условие: $$\frac{(x+1)(x-3)}{x(x+1)} \geq 0$$. Сократим $$(x+1)$$, учитывая, что $$x
eq -1$$: $$\frac{x-3}{x} \geq 0$$. Рассмотрим второе выражение $$\sqrt{\frac{x-3}{x}}$$. Опять же, $$x
eq 0$$, и должно выполняться условие $$\frac{x-3}{x} \geq 0$$. Решим неравенство $$\frac{x-3}{x} \geq 0$$ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $$x = 3$$ и $$x = 0$$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале: $$(-\infty; 0)$$: Пусть $$x = -1$$, тогда $$\frac{-1-3}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4 > 0$$. $$(0; 3)$$: Пусть $$x = 1$$, тогда $$\frac{1-3}{1} = -2 < 0$$. $$(3; +\infty)$$: Пусть $$x = 4$$, тогда $$\frac{4-3}{4} = \frac{1}{4} > 0$$. Таким образом, $$\frac{x-3}{x} \geq 0$$ при $$x \in (-\infty; 0) \cup [3; +\infty)$$. Учитывая, что $$x
eq -1$$, получаем область определения первого выражения: $$(-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup [3; +\infty)$$. Область определения второго выражения: $$(-\infty; 0) \cup [3; +\infty)$$. Найдем пересечение этих множеств: $$(-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup [3; +\infty)$$. Пересечение с $$(-\infty; 0) \cup [3; +\infty)$$ дает $$(-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup [3; +\infty)$$. Ответ: $$(-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup [3; +\infty)$$.