5. Дан равносторонний треугольник. В нём выбирают случайную точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри окружности, вписанной в этот треугольник?

Пусть сторона равностороннего треугольника равна a.

Площадь равностороннего треугольника: $$S_{тр} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Площадь вписанной окружности: $$S_{кр} = \pi r^2 = \pi (\frac{a\sqrt{3}}{6})^2 = \pi \frac{3a^2}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$$

Вероятность попадания точки в окружность: $$P = \frac{S_{кр}}{S_{тр}} = \frac{\frac{\pi a^2}{12}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{\pi a^2 \cdot 4}{12 \cdot a^2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9} \approx 0.60$$

Ответ: $$\frac{\pi\sqrt{3}}{9}$$