357 Дана окружность с центром в точке О. Прямая пересекае окружность в точках А и Н. Найдите расстояние от точки О до прямой, если АН =8 см, ∠AOH = 90°.

Ответ: Расстояние от точки O до прямой AH равно 4√2 см.

1. Опустим перпендикуляр OK из центра окружности O на прямую AH. Так как AH - хорда, а OK - перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, то OK делит хорду пополам. Следовательно, AK = KH = AH / 2 = 8 / 2 = 4 см.
2. Рассмотрим треугольник AOK. Он прямоугольный, так как OK перпендикулярен AH. Также известно, что угол AOH равен 90°. Следовательно, угол AOK равен половине угла AOH, то есть 45°.
3. Таким образом, треугольник AOK прямоугольный и равнобедренный (так как один из углов равен 45°). Значит, катеты AK и OK равны.
4. Следовательно, OK = AK = 4 см.
5. Однако угол ∠AOH = 90°, следовательно, треугольник AOH - прямоугольный и равнобедренный (так как OA = OH как радиусы). Тогда высота, опущенная из вершины прямого угла, является также медианой и биссектрисой. Таким образом, OK = AK = KH.
6. В таком случае OK можно найти по теореме Пифагора для треугольника AOK: \[OA^2 = AK^2 + OK^2\] Так как OA = R, а AK = KH = 4 см, и ∠AOH = 90°, то треугольник AOH - прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, AH = R\(\sqrt{2}\), и R = AH / \(\sqrt{2}\) = 8 / \(\sqrt{2}\) = 4\(\sqrt{2}\) см.
7. В треугольнике AOK: \[OK = \sqrt{OA^2 - AK^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 4^2} = \sqrt{32 - 16} = \sqrt{16} = 4\sqrt{2} \text{ см}\]

Ответ: Расстояние от точки O до прямой AH равно 4√2 см.