353 Отрезки АВ И АС являются отрезками касательных к окруж ности с центром О, проведенными из точки А. Найди ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.

Ответ: ∠ВАС = 60°

1. По условию, AB и AC - касательные к окружности с центром в точке О. Значит, углы OBA и OCA прямые, то есть ∠OBA = ∠OCA = 90°.
2. Пусть M — середина AO, и точка M лежит на окружности. Тогда AM = MO = MB = MC (так как M — центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника ABO).
3. Рассмотрим треугольник ABM. Так как AM = MB, то треугольник ABM равнобедренный, и углы при основании равны: ∠MAB = ∠MBA.
4. В прямоугольном треугольнике ABO угол ∠BOA = 90° - ∠BAO.
5. Так как ∠BMO - центральный угол, опирающийся на дугу BM, а ∠BAM - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, то ∠BMO = 2∠BAM.
6. Треугольник BMO также равнобедренный (BM = MO), поэтому ∠MBO = ∠BOM.
7. Следовательно, ∠BOM = ∠MBO = ∠BAO, и ∠BOA = 2∠BAO.
8. Таким образом, 90° - ∠BAO = 2∠BAO, откуда 3∠BAO = 90°, и ∠BAO = 30°.
9. Искомый угол ∠BAC = 2∠BAO = 2 * 30° = 60°.

Ответ: ∠ВАС = 60°