3. Дано: АВ ⊥ а, ∠ACB = 30°, AC=12, BD=8. Найдите AD.

Для решения задачи необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник АВС, так как АВ перпендикулярна плоскости α, то АВ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой ВС. В прямоугольном треугольнике АВС известна гипотенуза АС и угол ∠ACB, следовательно можно найти катет ВС:

$$BC = AC \cdot cos∠ACB = 12 \cdot cos30° = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$

Далее необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник АВD, в котором известен катет BD. Найдем катет АВ:

$$AB = AC \cdot sin∠ACB = 12 \cdot sin30° = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$

Для нахождения стороны AD применим теорему Пифагора:

$$AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Ответ: 10