6. Дано: АВ ⊥ а, ∠ACB = ∠ADB = 30°, AB=2, ∠CAD = 60°. Найдите CD.

Для решения задачи необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник АВС, так как АВ перпендикулярна плоскости α, то АВ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой ВС. В прямоугольном треугольнике АВС известен катет АВ и угол ∠ACB, следовательно можно найти катет АС:

$$AC = \frac{AB}{tg∠ACB} = \frac{2}{tg30°} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$

Далее необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник АВD, в котором известен катет АВ и угол ∠ADB, следовательно можно найти катет AD:

$$AD = \frac{AB}{tg∠ADB} = \frac{2}{tg30°} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$

Далее необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник АСD, в котором известны катет АС и угол ∠CAD. Найдем катет CD:

$$tg∠CAD = \frac{CD}{AC} = 60°$$ $$CD = AC \cdot tg∠CAD = 2\sqrt{3} \cdot tg60° = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$$

Ответ: 6