5. Дано: АВ ⊥ а, АВ = 10, ∠ACB = = ∠ADB = 45°, ∠CAD = 60°. Найдите CD.

Для решения задачи необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник АВС, так как АВ перпендикулярна плоскости α, то АВ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой ВС. В прямоугольном треугольнике АВС известен катет АВ и угол ∠ACB, следовательно можно найти катет ВС:

$$BC = \frac{AB}{tg∠ACB} = \frac{10}{tg45°} = \frac{10}{1} = 10$$

Далее необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник АВD, в котором известен катет АВ и угол ∠ADB, следовательно можно найти катет BD:

$$BD = \frac{AB}{tg∠ADB} = \frac{10}{tg45°} = \frac{10}{1} = 10$$

Так как ВС=BD, то треугольник BCD равнобедренный, следовательно, углы ∠BCD и ∠BDC равны. Найдем углы ∠BCD и ∠BDC:

$$∠CBD = 180° - ∠ACB - ∠ADB = 180° - 45° - 45° = 90°$$ $$∠BCD = ∠BDC = \frac{180° - 90°}{2} = 45°$$

Далее необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник АВС, в котором известен катет АВ и угол ∠CAD, следовательно можно найти катет AD:

$$tg∠CAD = \frac{CD}{AC} = 60°$$ $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$ $$CD = AC \cdot tg∠CAD = 10\sqrt{2} \cdot tg60° = 10\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{6}$$

Ответ: $$10\sqrt{6}$$