2. Дано: АВ ⊥ а, AC=AD=CD=2, ∠ACB=45°. Найдите ∠CBD.

Для решения задачи необходимо рассмотреть треугольник АСD, в котором известны все стороны, а следовательно, можно найти углы. Так как АС=AD=CD, то треугольник равносторонний, и все углы равны 60°.

Далее необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник АВС, так как АВ перпендикулярна плоскости α, то АВ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой ВС. В прямоугольном треугольнике АВС известна гипотенуза АС и угол ∠ACB, следовательно можно найти катет ВС:

$$BC = AC \cdot cos∠ACB = 2 \cdot cos45° = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$

Далее необходимо рассмотреть треугольник BCD, в котором известны стороны CD и BC. Найдем косинус угла ∠BCD:

$$∠BCD = ∠ACD + ∠ACB = 60° + 45° = 105°$$

Для нахождения стороны BD применим теорему косинусов:

$$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot cos∠BCD$$ $$BD^2 = (\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot cos105°$$ $$BD^2 = 2 + 4 - 4\sqrt{2} \cdot cos105°$$

cos105° = cos(60° + 45°) = cos60° \cdot cos45° - sin60° \cdot sin45° = $$ $$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$$ $$BD^2 = 6 - 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = 6 - \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6}) = 6 - 2 + \sqrt{12} = 4 + 2\sqrt{3}$$ $$BD = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$$

Далее необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник АВD, в котором известны катеты АВ и AD. Найдем тангенс угла ∠ADB:

$$AB = AC \cdot sin∠ACB = 2 \cdot sin45° = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ $$tg∠CBD = \frac{CD}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{2}{4 + 2\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{1}{2 + \sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$$

Следовательно, ∠CBD = $$arctg(\sqrt{2 - \sqrt{3}})$$

Ответ можно записать в градусах, но это будет не точное значение.

Ответ: $$arctg(\sqrt{2 - \sqrt{3}})$$