15. Диагональ AC ромба ABCD равна 32, а tg∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пошаговое решение:

• Диагональ \[AC = 32\]
• \(\tan \angle BCA = 0,75 = \frac{3}{4}\)
• Так как \(\angle BCA\) образован диагоналями, то \(\tan \angle BCA = \frac{AO}{BO}\), где AO и BO - половины диагоналей.
• Пусть \[BO = x\], тогда \(\frac{16}{x} = \frac{3}{4}\). Отсюда \[x = \frac{16 \cdot 4}{3} = \frac{64}{3}\)
• Диагональ \[BD = 2x = \frac{128}{3}\)
• Площадь ромба: \[S = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{128}{3} = \frac{2048}{3}\]
• Сторона ромба: \[a = \sqrt{16^2 + (\frac{64}{3})^2} = \sqrt{256 + \frac{4096}{9}} = \sqrt{\frac{2304 + 4096}{9}} = \sqrt{\frac{6400}{9}} = \frac{80}{3}\]
• Радиус вписанной окружности: \[r = \frac{S}{2a} = \frac{\frac{2048}{3}}{\frac{160}{3}} = \frac{2048}{160} = \frac{128}{10} = 12.8\]

Ответ: 12.8