2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, АС = 16 см. На стороне АВ взята точка К так, что пря- мая ОК перпендикулярна АВ и ОК = 4√3 см. Найдите сто- рону ромба и вторую диагональ.

2. Пусть сторона ромба равна а, а половина второй диагонали равна b. Тогда AO = 8 см.

Площадь ромба можно найти двумя способами:

$$S = a \cdot OK = a \cdot 4\sqrt{3}$$

$$S = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 2b = 16b$$

Приравняем выражения для площади:

$$a \cdot 4\sqrt{3} = 16b$$

$$a = \frac{4b}{\sqrt{3}}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle AOB$$:

$$AO^2 + BO^2 = AB^2$$

$$8^2 + b^2 = a^2$$

$$64 + b^2 = (\frac{4b}{\sqrt{3}})^2$$

$$64 + b^2 = \frac{16b^2}{3}$$

$$192 + 3b^2 = 16b^2$$

$$13b^2 = 192$$

$$b^2 = \frac{192}{13}$$

$$b = \sqrt{\frac{192}{13}} = 8\sqrt{\frac{3}{13}}$$

$$a = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 8\sqrt{\frac{3}{13}} = \frac{32}{\sqrt{13}}$$

Тогда сторона ромба равна $$\frac{32}{\sqrt{13}}$$ см, а вторая диагональ равна $$16\sqrt{\frac{3}{13}}$$ см.

Ответ: сторона ромба $$\frac{32}{\sqrt{13}}$$ см, вторая диагональ $$16\sqrt{\frac{3}{13}}$$ см.