Контрольная работа № 3. Признаки подобия треугольников Вариант 1 1. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке 0, АО = 6,8 см, СО = 8,4 см, ОВ = 5,1 см, OD = 6,3 см. Дока- жите, что АС || BD. Найдите: a) DB: AC; б) отношение периметров и площадей треугольников АОС и ДВО.

1. Рассмотрим треугольники $$\triangle AOC$$ и $$\triangle DOB$$:

$$\frac{AO}{OB} = \frac{6.8}{5.1} = \frac{4}{3}$$

$$\frac{CO}{OD} = \frac{8.4}{6.3} = \frac{4}{3}$$

$$\angle AOC = \angle DOB$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AOC \sim \triangle DOB$$ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Из подобия следует, что $$\angle CAO = \angle ODB$$ . Эти углы являются накрест лежащими при прямых AC и BD и секущей AD. Значит, AC || BD.

a) Из подобия треугольников следует:

$$\frac{DB}{AC} = \frac{OB}{AO} = \frac{5.1}{6.8} = \frac{3}{4}$$

б) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

$$\frac{P_{\triangle AOC}}{P_{\triangle DBO}} = \frac{AO}{OB} = \frac{4}{3}$$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle DBO}} = (\frac{AO}{OB})^2 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$$

Ответ: a) $$\frac{DB}{AC} = \frac{3}{4}$$; б) $$\frac{P_{\triangle AOC}}{P_{\triangle DBO}} = \frac{4}{3}$$, $$\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle DBO}} = \frac{16}{9}$$