Вариант 2 1. На одной стороне угла В отмечены точки А и Д, на другой - Е и С так, что В-Д-А и В-Е-С, BD = 3,1 см, ВЕ = 4,2 см, ВА = 9,3 см, ВС = 12,6 см. Докажите, что AC|| ED. Найдите: a) DE: AC; б) отношение периметров и площадей треугольников АВС и ДВЕ.

1. Рассмотрим треугольники $$\triangle DBE$$ и $$\triangle ABC$$:

$$\frac{BD}{BA} = \frac{3.1}{9.3} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{BE}{BC} = \frac{4.2}{12.6} = \frac{1}{3}$$

$$\angle DBE = \angle ABC$$ как общий.

Следовательно, $$\triangle DBE \sim \triangle ABC$$ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Из подобия следует, что $$\angle BDE = \angle BAC$$ . Эти углы являются соответственными при прямых AC и ED и секущей AD. Значит, AC || ED.

a) Из подобия треугольников следует:

$$\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{AB} = \frac{3.1}{9.3} = \frac{1}{3}$$

б) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

$$\frac{P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle DBE}} = \frac{AB}{DB} = \frac{9.3}{3.1} = 3$$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBE}} = (\frac{AB}{DB})^2 = (3)^2 = 9$$

Ответ: a) $$\frac{DE}{AC} = \frac{1}{3}$$; б) $$\frac{P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle DBE}} = 3$$, $$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBE}} = 9$$