2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, BD = 16 см. На стороне АВ взята точка К так, что ОК 1 АВ И ОК = 4√3 см. Найдите сторону ромба и вторую диагональ.

2. Рассмотрим ромб ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Пусть BD = 16 см, ОК \(\perp\) AB, ОК = 4\(\sqrt{3}\) см.

В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, \(BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. \(OK \perp AB\), значит ОК - высота треугольника АОВ, проведенная к гипотенузе АВ.

Площадь треугольника АОВ можно найти двумя способами:

$$ S_{AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO = \frac{1}{2} AB \cdot OK $$

Выразим AO через АВ:

$$ AO = \frac{AB \cdot OK}{BO} = \frac{AB \cdot 4\sqrt{3}}{8} = \frac{AB \sqrt{3}}{2} $$

По теореме Пифагора для треугольника AOB:

$$ AO^2 + BO^2 = AB^2 $$

$$ \left(\frac{AB \sqrt{3}}{2}\right)^2 + 8^2 = AB^2 $$

$$ \frac{3 AB^2}{4} + 64 = AB^2 $$

$$ AB^2 - \frac{3 AB^2}{4} = 64 $$

$$ \frac{AB^2}{4} = 64 $$

$$ AB^2 = 256 $$

$$ AB = \sqrt{256} = 16 \text{ см} $$

Сторона ромба равна 16 см.

Найдем АО:

$$ AO = \frac{16 \sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см} $$

Значит, АС = 2 АО = 2 \(\cdot\) 8\(\sqrt{3}\) = 16\(\sqrt{3}\) см.

Ответ: сторона ромба равна 16 см, вторая диагональ равна 16\(\sqrt{3}\) см.