1. Рис. 858. Дано: АО = 6,8 см; СО = 8,4 см, ОВ = 5,1 см; OD = 6,3 см. Доказать: АС || BD. Найти: а) DB: AC; 6) PAOC: PDBO; B) SDBO: SAOC

1. Рассмотрим рисунок 858.

а) Рассмотрим треугольники AOD и COB:

$$ \frac{AO}{OB} = \frac{6.8}{5.1} = \frac{68}{51} = \frac{4}{3} $$

$$ \frac{CO}{OD} = \frac{8.4}{6.3} = \frac{84}{63} = \frac{4}{3} $$

Значит, \(\frac{AO}{OB} = \frac{CO}{OD}\). Угол \(\angle AOD = \angle COB\) как вертикальные. Следовательно, \(\triangle AOD \sim \triangle COB\) по второму признаку подобия треугольников.

Из подобия треугольников следует, что \(\angle DAO = \angle CBO\). Эти углы являются накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей АВ. Значит, AD || BC.

б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит, \(\frac{S_{AOD}}{S_{COB}} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}\)

Треугольники АОС и DBO имеют одинаковые высоты, проведенные из вершины О. Значит, отношение их площадей равно отношению длин оснований.

\(\frac{S_{AOC}}{S_{DBO}} = \frac{AC}{DB} = \frac{AO}{OB} = \frac{4}{3}\)

\(P_{AOC}\) : \(P_{DBO}\) = 4 : 3

в) \(\frac{S_{DBO}}{S_{AOC}} = \frac{DB}{AC} = \frac{3}{4}\)

Ответ: а) AD || BC, DB : AC = 3 : 4; б) 4 : 3; в) 3 : 4