4*. В равнобедренном треугольнике МПК с основанием МК, рав- ным 10 см, MN = NК = 20 см. На стороне NК лежит точка А так, что АК : AN = 1: 3. Найдите АМ.

4. В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK, MN = NK = 20 см, MK = 10 см. На стороне NK лежит точка А так, что AK : AN = 1 : 3. Найдите AM.

Пусть AK = x, AN = 3x. Тогда NK = AK + AN = x + 3x = 4x. 4x = 20, x = 5. Значит, AK = 5 см, AN = 15 см.

По теореме косинусов для треугольника MNK:

$$ MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 MN \cdot NK \cdot \cos N $$

$$ 10^2 = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot \cos N $$

$$ 100 = 400 + 400 - 800 \cos N $$

$$ 800 \cos N = 700 $$

$$ \cos N = \frac{7}{8} $$

По теореме косинусов для треугольника AMN:

$$ AM^2 = MN^2 + AN^2 - 2 MN \cdot AN \cdot \cos N $$

$$ AM^2 = 20^2 + 15^2 - 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot \frac{7}{8} $$

$$ AM^2 = 400 + 225 - \frac{4200}{8} $$

$$ AM^2 = 625 - 525 = 100 $$

$$ AM = \sqrt{100} = 10 \text{ см} $$

Ответ: AM = 10 см.