2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. На стороне АВ взята точка К так, что ОК АВ, АК = 2 см, ВК = 8 см. Найдите диаго- нали ромба.

2. Рассмотрим ромб ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. На стороне AB взята точка К так, что ОК \(\perp\) AB, АК = 2 см, ВК = 8 см. Значит, АВ = АК + ВК = 2 + 8 = 10 см.

В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, \(AO = BO = \frac{1}{2} AC\), \(DO = CO = \frac{1}{2} BD\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. \(OK \perp AB\), значит ОК - высота треугольника АОВ, проведенная к гипотенузе АВ.

Площадь треугольника АОВ можно найти двумя способами:

$$ S_{AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO = \frac{1}{2} AB \cdot OK $$

Пусть \(AO = x\), тогда \(BO = x\).

Тогда

$$ x \cdot x = 10 \cdot OK $$

$$ x^2 = 10 \cdot OK $$

По теореме Пифагора для треугольника AOB:

$$ AO^2 + BO^2 = AB^2 $$

$$ x^2 + x^2 = 10^2 $$

$$ 2x^2 = 100 $$

$$ x^2 = 50 $$

$$ x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ см} $$

Значит, \(AO = 5\sqrt{2}\) см, тогда \(AC = 2 AO = 10\sqrt{2}\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKO. По теореме Пифагора:

$$ AO^2 = AK^2 + OK^2 $$

$$ (5\sqrt{2})^2 = 2^2 + OK^2 $$

$$ 50 = 4 + OK^2 $$

$$ OK^2 = 46 $$

$$ OK = \sqrt{46} \text{ см} $$

Площадь треугольника АОВ можно найти:

$$ S_{AOB} = \frac{1}{2} AB \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{46} = 5\sqrt{46} $$

С другой стороны, \(S_{AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO = \frac{1}{2} 5\sqrt{2} \cdot BO\)

Значит, \(\frac{1}{2} 5\sqrt{2} \cdot BO = 5\sqrt{46}\), тогда \(BO = \frac{2 \cdot 5\sqrt{46}}{5\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{46}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sqrt{46} = \sqrt{23}\) см.

Но, так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, то \(BO = AO = 5\sqrt{2}\), получается противоречие.

В условии ошибка! Не может ОК быть перпендикулярно АВ.

Ответ: В условии ошибка. Решение не имеет смысла.