1. Рис. 859. Дано: BD = 3,1 см, ВЕ = 4,2 см, ВА = 9,3 см, ВС = 12,6 см. Доказать: DE || AC. Найти: а) DE: AC; 6) PABC: PDBE; B) SDBE: SABC.

1. Рассмотрим рисунок 859.

а) Рассмотрим треугольники DBE и ABC:

$$ \frac{BD}{BA} = \frac{3.1}{9.3} = \frac{1}{3} $$

$$ \frac{BE}{BC} = \frac{4.2}{12.6} = \frac{1}{3} $$

Угол B - общий. Следовательно, \(\triangle DBE \sim \triangle ABC\) по второму признаку подобия треугольников.

Из подобия треугольников следует, что \(\angle BDE = \angle BAC\). Эти углы являются соответственными при прямых DE и AC и секущей АВ. Значит, DE || AC.

DE : AC = 1 : 3

б) \(\frac{P_{ABC}}{P_{DBE}} = \frac{AB}{DB} = 3\)

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

\(\frac{S_{DBE}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\)

Ответ: а) DE || AC, DE : AC = 1 : 3; б) 3; в) 1 : 9