4*. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 40 см, АС = 20 см. На стороне ВС отмечена точка Н так, что ВН : НС = 3 : 1. Найдите АН.

4. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 40 см, АС = 20 см. На стороне ВС отмечена точка Н так, что ВН : НС = 3 : 1. Найдите АН.

Пусть ВН = 3х, НС = х. Тогда ВС = ВН + НС = 3х + х = 4х. 4х = 40, х = 10. Значит, ВН = 30 см, НС = 10 см.

По теореме косинусов для треугольника АВС:

$$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cdot \cos B $$

$$ 20^2 = 40^2 + 40^2 - 2 \cdot 40 \cdot 40 \cdot \cos B $$

$$ 400 = 1600 + 1600 - 3200 \cos B $$

$$ 3200 \cos B = 2800 $$

$$ \cos B = \frac{2800}{3200} = \frac{7}{8} $$

По теореме косинусов для треугольника АВН:

$$ AH^2 = AB^2 + BH^2 - 2 AB \cdot BH \cdot \cos B $$

$$ AH^2 = 40^2 + 30^2 - 2 \cdot 40 \cdot 30 \cdot \frac{7}{8} $$

$$ AH^2 = 1600 + 900 - \frac{16800}{8} $$

$$ AH^2 = 2500 - 2100 = 400 $$

$$ AH = \sqrt{400} = 20 \text{ см} $$

Ответ: АН = 20 см.