167 На рисунке 98 треугольник ADE равнобед- ренный, DE - основание. Докажите, что: а) если BD=CE, TO ∠CAD=∠BAЕ И АВ = = АС; б) если ∠CAD = ∠BAE, TO BD =СЕ и AB = AC.

а) Так как \(\triangle ADE\) равнобедренный, то \(AD = AE\) и \(\angle ADE = \angle AED\). Следовательно, \(\angle ADB = \angle AEC\) (как смежные углы).

В треугольниках \(\triangle ADB\) и \(\triangle AEC\): \(AD = AE\), \(BD = CE\) (по условию), \(\angle ADB = \angle AEC\). Следовательно, \(\triangle ADB = \triangle AEC\) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что \(AB = AC\) и \(\angle DAB = \angle EAC\).

Тогда \(\angle CAD = \angle DAE - \angle DAB\), \(\angle BAE = \angle DAE - \angle EAC\). Так как \(\angle DAE - общий\), а \(\angle DAB = \angle EAC\), то \(\angle CAD = \angle BAE\).

б) Так как \(\triangle ADE\) равнобедренный, то \(AD = AE\) и \(\angle ADE = \angle AED\). Следовательно, \(\angle ADB = \angle AEC\) (как смежные углы).

В треугольниках \(\triangle ADB\) и \(\triangle AEC\): \(AD = AE\), \(\angle CAD = \angle BAE\) (по условию), \(\angle ADB = \angle AEC\). Следовательно, \(\angle DAB = \angle EAC\).

Тогда \(\angle BAE = \angle CAD\), \(\angle BAE = \angle BAD + \angle DAE\), \(\angle CAD = \angle CAE + \angle DAE\). Значит, \(\angle BAD = \angle CAE\).

Рассмотрим \(\triangle ABC\). Так как \(\angle BAE = \angle CAD\) и \(AB = AC\) (как стороны равнобедренного треугольника), то \(\triangle ABC\) - равнобедренный.

В треугольниках \(\triangle ADB\) и \(\triangle AEC\): \(AD = AE\), \(\angle BAD = \angle CAE\), \(AB = AC\). Следовательно, \(\triangle ADB = \triangle AEC\) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что \(BD = CE\).

Ответ: Доказано.