32. Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность. Верно ли обратное утверждение?

Доказательство, что около равнобокой трапеции можно описать окружность:

Равнобокая трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. Чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов были равны 180°. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Пусть углы при одном основании равны α, а при другом — β. Так как трапеция является четырехугольником, сумма всех её углов равна 360°, то есть 2α + 2β = 360°. Отсюда следует, что α + β = 180°, что и требовалось доказать.

Обратное утверждение: Если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобокая.

Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD, около которой описана окружность. Так как ABCD — трапеция, то AB||CD. Следовательно, ∠A + ∠D = 180° и ∠B + ∠C = 180°. Так как ABCD вписан в окружность, то ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°. Из этих равенств следует, что ∠A = ∠B и ∠C = ∠D. Таким образом, трапеция ABCD равнобокая.

Ответ: доказано, что около равнобокой трапеции можно описать окружность, и обратное утверждение верно.